Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 1.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 8 u + 8 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 1.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $32$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $32$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = 4 + 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $32$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = 4 - 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 4 + 2 \sqrt{2}, 4 - 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 6.82842712$

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Étape 1.2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 6.82842712$

Étape 1.2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6.82842712}$

Étape 1.2.11.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.11.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6.82842712}$

Étape 1.2.11.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6.82842712}$

Étape 1.2.11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}$

Étape 1.2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Étape 1.2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1.17157287$

Étape 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.17157287}$

Étape 1.2.13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{1.17157287}$

Étape 1.2.13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{1.17157287}$

Étape 1.2.13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Étape 1.2.14

La solution à $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ est $x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$ .

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 8$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{2} + 8$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 8$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 8$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 8$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$y = 8$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 8)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 8)$

Étape 4