Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$

Étape 1

Définissez $2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$ égal à $0$ .

$2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$2 x^{4} - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} - 2$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (x^{4}) + 2 (- 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4}) + 2 (- 1)$ .

$2 (x^{4} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.6.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{3} - 5 x$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) - 5 x = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $5 x$ à partir de $- 5 x$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) + 5 x (- 1) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez.

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Étape 2.1.9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.10.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $5 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x) = 0$

Étape 2.1.10.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) + 5 x) = 0$

Étape 2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 \cdot 1 + 5 x) = 0$

Étape 2.1.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 + 5 x) = 0$

Étape 2.1.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 2) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

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Étape 2.1.14.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.14.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.1.14.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 (x) + 2) = 0$

Étape 2.1.14.1.1.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2) = 0$

Étape 2.1.14.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2) = 0$

Étape 2.1.14.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + x + 4 x + 2) = 0$

Étape 2.1.14.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.14.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2) = 0$

Étape 2.1.14.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x - 1) (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)) = 0$

Étape 2.1.14.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x + 1) (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - \frac{1}{2}, - 2$

Étape 3