Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 48 x - 128$

Étape 1

Définissez $x^{3} - 48 x - 128$ égal à $0$ .

$x^{3} - 48 x - 128 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3} - 48 x - 128$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $- 4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $- 4$ dans le polynôme.

${(- 4)}^{3} - 48 \cdot - 4 - 128$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- 64 - 48 \cdot - 4 - 128$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $- 48$ par $- 4$ .

$- 64 + 192 - 128$

Étape 2.1.1.3.4

Additionnez $- 64$ et $192$ .

$128 - 128$

Étape 2.1.1.3.5

Soustrayez $128$ de $128$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 48 x - 128}{x + 4}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $x^{3} - 48 x - 128$ par $x + 4$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$48 x$

$128$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 32 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							-	$32 x$	-	$128$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 32 x - 128$

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							+	$32 x$	+	$128$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							+	$32 x$	+	$128$
										$0$

Étape 2.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x - 32$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 48 x - 128$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 8, 4$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 4) ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (x - 8) (x + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.4

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 8) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 4, 8$

Étape 3