Calcul infinitésimal Exemples

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

Étape 1

La règle d’enchaînement indique que la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est égale à la dérivée de $y$ par rapport à $u$ fois la dérivée de $u$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{d y}{d u}$ .

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + 1$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$2 u + 0$

Étape 2.4

Additionnez $2 u$ et $0$ .

$2 u$

Étape 3

Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4

Multipliez $\frac{d y}{d u}$ par $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

Étape 5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

Étape 6

Remplacez la valeur de $u$ dans la dérivée $6 u$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

Étape 7

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

Étape 7.2

Multipliez.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

Étape 7.2.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$