Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ .

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$

Étape 2

Définissez $y$ égal à $0$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 3.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Étape 3.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Étape 3.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Étape 3.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Étape 3.1.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 - 7 \cdot 1 - 1 + 10$

Étape 3.1.1.3.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 2 - 7 - 1 + 10$

Étape 3.1.1.3.6

Soustrayez $7$ de $- 2$ .

$- 9 - 1 + 10$

Étape 3.1.1.3.7

Soustrayez $1$ de $- 9$ .

$- 10 + 10$

Étape 3.1.1.3.8

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$0$

Étape 3.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10}{x + 1}$

Étape 3.1.1.5

Divisez $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ par $x + 1$ .

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Étape 3.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$10$

Étape 3.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$

Étape 3.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 3.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 3.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Étape 3.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Étape 3.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Étape 3.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 3.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x^{2} - 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 3.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$

Étape 3.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Étape 3.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Étape 3.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Étape 3.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x + 10$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Étape 3.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Étape 3.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 9 x + 10$

Étape 3.1.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 3.1.2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Étape 3.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 4$ plus $- 5$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 4 - 5) x + 10) = 0$

Étape 3.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) = 0$

Étape 3.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10) = 0$

Étape 3.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

Étape 3.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (2 x - 5)) = 0$

Étape 3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.5

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Étape 4