Calcul infinitésimal Exemples

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Étape 1

La règle d’enchaînement indique que la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est égale à la dérivée de $y$ par rapport à $u$ fois la dérivée de $u$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{d y}{d u}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.6

Associez $\frac{3}{2}$ et $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3

Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 4

Multipliez $\frac{d y}{d u}$ par $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Étape 6

Remplacez la valeur de $u$ dans la dérivée $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$