Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Étape 1

La règle d’enchaînement indique que la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est égale à la dérivée de $y$ par rapport à $u$ fois la dérivée de $u$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{d y}{d u}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = u + 1$ et $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u + 1$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Étape 2.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $u$ de $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1 \cdot 1$ de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Étape 3

Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2}$

Étape 4

Multipliez $\frac{d y}{d u}$ par $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

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Étape 5.1

Multipliez $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Étape 5.1.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Étape 5.1.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Étape 5.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Étape 6

Remplacez la valeur de $u$ dans la dérivée $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Étape 7.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Étape 7.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 7.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Étape 7.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Étape 7.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Étape 7.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Étape 7.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$