Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = 2 x$ et $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z^{2} - y^{2}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $2 z$ et $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $z^{2}$ par $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- y^{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - 4 x z$ .

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $4 x z$ de $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la règle de produit à $(z + y) (z - y)$ .

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$