Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 y}{x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 4 y$ et $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [4 y] - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + 2) (4 \frac{d}{d y} [y]) - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (0 + \frac{d}{d y} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (0 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 4 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 4 y \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$\frac{4 x + 8 + 0 y}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$\frac{4 x + 8 + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $4 x + 8$ et $0$ .

$\frac{4 x + 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 8$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 x + 4 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 2$ .

$\frac{4 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $4 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x + 2}$