Calcul infinitésimal Exemples

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ est $n A^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2000$ est constant par rapport à $A$ , la dérivée de $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ par rapport à $A$ est $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ est $f' (g (A)) g' (A)$ où $f (A) = A^{60}$ et $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $60$ par $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{r}{12}$ par rapport à $A$ est $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $A$ , la dérivée de $1$ par rapport à $A$ est $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Étape 3.3.5

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $A$ , la dérivée de $\frac{r}{12}$ par rapport à $A$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Étape 3.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.6.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.3.6.2

Associez $\frac{120000}{12}$ et ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.3.6.3

Annulez le facteur commun à $120000$ et $12$ .

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Étape 3.3.6.3.1

Factorisez $12$ à partir de $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.3.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.6.3.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.3.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.3.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.3.6.3.2.4

Divisez $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ par $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d A} [r]$ comme $r'$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Étape 5

Résolvez $r'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ par $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ par $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10000$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $r'$ par $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Étape 5.2.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{12 + r}{12}$ .

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Étape 5.2.3.2

Associez $10000$ et $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ par $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Étape 6

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$