Calcul infinitésimal Exemples

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

Étape 2

La dérivée de $R$ par rapport à $t$ est $R'$ .

$R'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 \tan^{2} (3 π t)$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \tan (3 π t)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (3 π t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (3 π t)$ .

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = 3 π t$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $3 π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 π t$ par rapport à $t$ est $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

Étape 3.5.4.2

Réorganisez les facteurs de $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ .

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Étape 5

Remplacez $R'$ par $\frac{d R}{d t}$ .

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$