Calcul infinitésimal Exemples

$p = 500 e^{- 0.4 q}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d p} (p) = \frac{d}{d p} (500 e^{- 0.4 q})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $500$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $500 e^{- 0.4 q}$ par rapport à $p$ est $500 \frac{d}{d p} [e^{- 0.4 q}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [e^{- 0.4 q}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = e^{p}$ et $g (p) = - 0.4 q$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.4 q$ .

$500 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d p} [- 0.4 q])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$500 (e^{u} \frac{d}{d p} [- 0.4 q])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.4 q$ .

$500 (e^{- 0.4 q} \frac{d}{d p} [- 0.4 q])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 0.4$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 0.4 q$ par rapport à $p$ est $- 0.4 \frac{d}{d p} [q]$ .

$500 e^{- 0.4 q} (- 0.4 \frac{d}{d p} [q])$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 0.4$ par $500$ .

$- 200 e^{- 0.4 q} \frac{d}{d p} [q]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d p} [q]$ comme $q'$ .

$- 200 e^{- 0.4 q} q'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - 200 e^{- 0.4 q} q'$

Étape 5

Résolvez $q'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$ .

$- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$ par $- 200 e^{- 0.4 q}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 200 e^{- 0.4 q} q' = 1$ par $- 200 e^{- 0.4 q}$ .

$\frac{- 200 e^{- 0.4 q} q'}{- 200 e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 200$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 200 e^{- 0.4 q} q'}{- 200 e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- 0.4 q} q'}{e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- 0.4 q}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 0.4 q} q'}{e^{- 0.4 q}} = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $q'$ par $1$ .

$q' = \frac{1}{- 200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$q' = - \frac{1}{200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $1$ comme $1 (1)$ .

$q' = - \frac{1 (1)}{200 e^{- 0.4 q}}$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $200$ à partir de $200 e^{- 0.4 q}$ .

$q' = - \frac{1 (1)}{200 (e^{- 0.4 q})}$

Étape 5.2.3.4

Séparez les fractions.

$q' = - (\frac{1}{200} \cdot \frac{1}{e^{- 0.4 q}})$

Étape 5.2.3.5

Divisez $1$ par $200$ .

$q' = - (0.005 \frac{1}{e^{- 0.4 q}})$

Étape 5.2.3.6

Associez $0.005$ et $\frac{1}{e^{- 0.4 q}}$ .

$q' = - \frac{0.005}{e^{- 0.4 q}}$

Étape 6

Remplacez $q'$ par $\frac{d q}{d p}$ .

$\frac{d q}{d p} = - \frac{0.005}{e^{- 0.4 q}}$