Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r} (p) = \frac{d}{d r} (\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $p$ par rapport à $r$ est $p'$ .

$p'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $144$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$ par rapport à $r$ est $144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$ .

$144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ est $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ où $f (r) = r$ et $g (r) = {(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{({(r + 0.6)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(r + 0.6)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(r + 0.6)}^{2}$ par $1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = r^{2}$ et $g (r) = r + 0.6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 u \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $r + 0.6$ à partir de ${(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $r + 0.6$ à partir de ${(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) - 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $r + 0.6$ à partir de $- 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $r + 0.6$ à partir de $(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Factorisez $r + 0.6$ à partir de ${(r + 0.6)}^{4}$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r + 0.6$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6]$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.9

Comme $0.6$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $0.6$ par rapport à $r$ est $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + 0)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.10

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \cdot 1}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.10.3

Soustrayez $2 r$ de $r$ .

$144 \frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.10.4

Associez $144$ et $\frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$ .

$\frac{144 (- r + 0.6)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{144 (- r) + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$\frac{- 144 r + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $144$ par $0.6$ .

$\frac{- 144 r + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.3

Factorisez $28.8$ à partir de $- 144 r + 86.4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.3.1

Factorisez $28.8$ à partir de $- 144 r$ .

$\frac{28.8 (- 5 r) + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.3.2

Factorisez $28.8$ à partir de $86.4$ .

$\frac{28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.3.3

Factorisez $28.8$ à partir de $28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)$ .

$\frac{28.8 (- 5 r + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 r$ .

$\frac{28.8 (- (5 r) + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{28.8 (- (5 r) - 1 (- 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 r) - 1 (- 3)$ .

$\frac{28.8 (- (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.7

Réécrivez $- (5 r - 3)$ comme $- 1 (5 r - 3)$ .

$\frac{28.8 (- 1 (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 3.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Étape 5

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d r}$ .

$\frac{d p}{d r} = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$