Calcul infinitésimal Exemples

$s = 2 \cot (t + e^{- t})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (2 \cot (t + e^{- t}))$

Étape 2

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 \cot (t + e^{- t})$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cot (t)$ et $g (t) = t + e^{- t}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t + e^{- t}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cot (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$2 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t + e^{- t}$ .

$2 (- \csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + e^{- t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot - 1)$

Étape 3.5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - 1 \cdot e^{- t})$

Étape 3.5.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Étape 5

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$