Calcul infinitésimal Exemples

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{4} + 25}$ comme ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

Étape 3

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ .

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t^{4} + 25$ .

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Étape 4.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 25$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $25$ par rapport à $t$ est $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.11

Additionnez $4 t^{3}$ et $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.13

Associez $4$ et $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.14

Associez $\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $t^{3}$ .

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.15

Placez ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.16

Factorisez $2$ à partir de $4 t^{3}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.17.2

Annulez le facteur commun.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.17.3

Réécrivez l’expression.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.18

Associez $10$ et $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.2.19

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $- 50$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 50$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$