Calcul infinitésimal Exemples

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

Étape 3

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Étape 4.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Étape 4.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$