Calcul infinitésimal Exemples

$s = t^{12} \ln (| t |)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{12} \ln (| t |))$

Étape 2

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{12}$ et $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = | t |$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| t |$ .

$t^{12} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$t^{12} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| t |$ .

$t^{12} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{| t |}$ et $t^{12}$ .

$\frac{t^{12}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.4

La dérivée de $| t |$ par rapport à $t$ est $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{12}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{t^{12}}{| t |}$ par $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{12} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.6

Multipliez $t^{12}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Multipliez $t^{12}$ par $t$ .

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Étape 3.6.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{12} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{12 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.6.2

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.7

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{t^{13}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.8

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.9

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{13}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (12 t^{11})$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 3.13.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.2.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{t^{13}}{t^{2}} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 3.13.2.2

Annulez le facteur commun à $t^{13}$ et $t^{2}$ .

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Étape 3.13.2.2.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{13}$ .

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2}} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 3.13.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2} \cdot 1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 3.13.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2} \cdot 1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 3.13.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{11}}{1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 3.13.2.2.2.4

Divisez $t^{11}$ par $1$ .

$t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Étape 5

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$