Calcul infinitésimal Exemples

$s = t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} + \frac{9}{t^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{9}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{2}}$ comme ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2}$ .

$2 t + 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 t + 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t + 9 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 t + 9 (- t^{- 4} (2 t))$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 4} t)$

Étape 3.2.7

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$2 t + 9 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 t + 9 (- 2 t^{1 - 4})$

Étape 3.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 3})$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$2 t - 18 t^{- 3}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t - 18 \frac{1}{t^{3}}$

Étape 3.3.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Associez $- 18$ et $\frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t + \frac{- 18}{t^{3}}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Étape 5

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$