Calcul infinitésimal Exemples

$r = 70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (70 (30 x - x^{\frac{3}{2}}))$

Étape 2

La dérivée de $r$ par rapport à $x$ est $r'$ .

$r'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$ par rapport à $x$ est $70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 x - x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.3

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$70 (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$70 (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.5

Multipliez $30$ par $1$ .

$70 (30 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (30 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 3.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Étape 3.11.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.12

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$70 (30 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$70 \cdot 30 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.13.2

Associez des termes.

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Étape 3.13.2.1

Multipliez $70$ par $30$ .

$2100 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.13.2.2

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$2100 - 70 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.13.2.3

Associez $- 70$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2100 + \frac{- 70 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 3.13.2.4

Multipliez $3$ par $- 70$ .

$2100 + \frac{- 210 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.13.2.5

Factorisez $2$ à partir de $- 210 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 3.13.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 3.13.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$2100 + \frac{- 105 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 3.13.2.6.4

Divisez $- 105 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2100 - 105 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$r' = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Étape 5

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$