Calcul infinitésimal Exemples

$v = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

Étape 1

Réécrivez le côté droit avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1

Supprimez les parenthèses.

$r' = \frac{1}{3} \cdot ((p r^{2}) h)$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$r' = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r'} r' = \frac{d}{d r'} (\frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{r'}^{n}]$ est $n {r'}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Associez $p$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Étape 4.1.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.1

Associez $r^{2}$ et $\frac{p}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p}{3} \cdot h]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{r^{2} p}{3}$ et $h$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p h}{3}]$

Étape 4.1.3

Comme $\frac{p h}{3}$ est constant par rapport à $r'$ , la dérivée de $\frac{r^{2} p h}{3}$ par rapport à $r'$ est $\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$ .

$\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (r'))]$ est $f' (g (r')) g' (r')$ où $f (r') = {r'}^{2}$ et $g (r') = r$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r$ .

$\frac{p h}{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d v} [r])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{p h}{3} (2 u \frac{d}{d v} [r])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r$ .

$\frac{p h}{3} (2 r \frac{d}{d v} [r])$

Étape 4.3

Associez les fractions.

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Étape 4.3.1

Associez $2$ et $\frac{p h}{3}$ .

$\frac{2 (p h)}{3} (r \frac{d}{d v} [r])$

Étape 4.3.2

Associez $r$ et $\frac{2 (p h)}{3}$ .

$\frac{r (2 (p h))}{3} \frac{d}{d v} [r]$

Étape 4.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $r$ .

$\frac{2 \cdot r p h}{3} \frac{d}{d v} [r]$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{d}{d v} [r]$ comme $r'$ .

$\frac{2 r p h}{3} r'$

Étape 4.5

Associez $\frac{2 r p h}{3}$ et $r'$ .

$\frac{2 r p h r'}{3}$

Étape 4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 h p r r'}{3}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{2 h p r r'}{3}$

Étape 6

Résolvez $r'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 h p r r'}{3} = 1$ .

$\frac{2 h p r r'}{3} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 h p r r') = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 h p r r'$ .

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$h p r r' = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$h p r r' = \frac{3}{2}$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $h p r r' = \frac{3}{2}$ par $h p r$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $h p r r' = \frac{3}{2}$ par $h p r$ .

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.2.3

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 6.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.2.3.2

Divisez $r'$ par $1$ .

$r' = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{h p r}$

Étape 6.4.3.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{h p r}$ .

$r' = \frac{3}{2 h p r}$

Étape 7

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d v}$ .

$\frac{d r}{d v} = \frac{3}{2 h p r}$