Calcul infinitésimal Exemples

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Étape 2

La dérivée de $w$ par rapport à $p$ est $w'$ .

$w'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = \log_{8} (p)$ et $g (p) = 2^{p} - 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\log_{8} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2^{p} - 1$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ est $a^{p} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $p$ est $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Étape 3.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.1

Additionnez $2^{p} \ln (2)$ et $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Étape 3.4.2.2

Associez $2^{p}$ et $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Étape 3.4.2.3

Associez $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ et $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $- 1 \ln (8)$ comme $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Étape 5

Remplacez $w'$ par $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$