Calcul infinitésimal Exemples

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

Étape 2

La dérivée de $w$ par rapport à $t$ est $w'$ .

$w'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{90}$ et $g (t) = t^{7} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{7} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 90$ .

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{7} + 1$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{7} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $7 t^{6}$ et $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $7$ par $90$ .

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

Étape 3.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ .

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Étape 5

Remplacez $w'$ par $\frac{d w}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$