Calcul infinitésimal Exemples

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $v'$ par rapport à $x$ est $v''$ .

$v''$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.10

Simplifiez les termes.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.10.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.10.4

Associez $2$ et $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 2$ .

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Étape 3.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.7

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 5

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$