Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (27 x t) = t$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (27 x t)) = \frac{d}{d x} (t)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 27 x t$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $27 x t$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [27 x t]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $27 x t$ .

$\cos (27 x t) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Étape 2.2

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x t$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x t]$ .

$\cos (27 x t) (27 \frac{d}{d x} [x t])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = t$ .

$\cos (27 x t) (27 (x \frac{d}{d x} [t] + t \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [t]$ comme $t'$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \cdot 1))$

Étape 2.6

Multipliez $t$ par $1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t))$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (27 x t) (27 (x t') + 27 t)$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (27 x t) (27 (x t')) + \cos (27 x t) (27 t)$

Étape 2.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [t]$ comme $t'$ .

$t'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Étape 5

Résolvez $t'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$ .

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Étape 5.2

Soustrayez $t'$ des deux côtés de l’équation.

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) - t' = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $27 t \cos (27 x t)$ des deux côtés de l’équation.

$27 x t' \cos (27 x t) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Étape 5.4

Factorisez $t'$ à partir de $27 x t' \cos (27 x t) - t'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $t'$ à partir de $27 x t' \cos (27 x t)$ .

$t' (27 x \cos (27 x t)) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Étape 5.4.2

Factorisez $t'$ à partir de $- t'$ .

$t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1 = - 27 t \cos (27 x t)$

Étape 5.4.3

Factorisez $t'$ à partir de $t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1$ .

$t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ par $27 x \cos (27 x t) - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ par $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $t'$ par $1$ .

$t' = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t' = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Étape 6

Remplacez $t'$ par $\frac{d t}{d x}$ .

$\frac{d t}{d x} = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$