Calcul infinitésimal Exemples

$s = \sin (\frac{9 π t}{2}) - \cos (\frac{9 π t}{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\sin (\frac{9 π t}{2}) - \cos (\frac{9 π t}{2}))$

Étape 2

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (\frac{9 π t}{2}) - \cos (\frac{9 π t}{2})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sin (\frac{9 π t}{2})] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (\frac{9 π t}{2})] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sin (\frac{9 π t}{2})]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{9 π t}{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{9 π t}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{9 π t}{2}$ .

$\cos (\frac{9 π t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{9 π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{9 π t}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.4

Multipliez $\frac{9 π}{2}$ par $1$ .

$\cos (\frac{9 π t}{2}) \frac{9 π}{2} + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.5

Associez $\cos (\frac{9 π t}{2})$ et $\frac{9 π}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{9 π t}{2}) (9 π)}{2} + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.2.6

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (\frac{9 π t}{2})$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \cos (\frac{9 π t}{2})$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\cos (\frac{9 π t}{2})]$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - \frac{d}{d t} [\cos (\frac{9 π t}{2})]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = \frac{9 π t}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{9 π t}{2}$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}])$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{9 π t}{2}$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}])$

Étape 3.3.3

Comme $\frac{9 π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{9 π t}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{9 π}{2}$ par $1$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) \frac{9 π}{2})$

Étape 3.3.6

Associez $\frac{9 π}{2}$ et $\sin (\frac{9 π t}{2})$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - - \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + 1 \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

Étape 3.3.8

Multipliez $\frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$ par $1$ .

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$ .

$\frac{9 π \cos (\frac{9 π t}{2})}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = \frac{9 π \cos (\frac{9 π t}{2})}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

Étape 5

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{9 π \cos (\frac{9 π t}{2})}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$