Calcul infinitésimal Exemples

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $\frac{1}{3} t^{3}$ par rapport à $s$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{3}$ et $g (s) = t$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d s} [t]$ comme $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.5

Associez $t^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ et $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.7

Déplacez $3$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.2.8.2

Divisez $t^{2} t'$ par $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 5 t^{2}$ par rapport à $s$ est $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{2}$ et $g (s) = t$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d s} [t]$ comme $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $16 t$ par rapport à $s$ est $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d s} [t]$ comme $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $8$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $8$ par rapport à $s$ est $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ et $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Étape 5

Résolvez $t'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $t'$ à partir de $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $t'$ à partir de $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $t'$ à partir de $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $t'$ à partir de $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $t'$ à partir de $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Étape 5.2.5

Factorisez $t'$ à partir de $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Factorisez $t^{2} - 10 t + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 8, - 2$

Étape 5.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ par $(t - 8) (t - 2)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ par $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $t - 8$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $t - 2$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $t'$ par $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Étape 6

Remplacez $t'$ par $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$