Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 3.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 3.3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ par $- \sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ par $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Étape 6.3.3.2

Séparez les fractions.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6.3.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Étape 6.3.3.4

Divisez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Étape 6.3.3.5

Associez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ et $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$