Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) = e^{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (x) x'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (x) x' = e^{y}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $\cos (x) x' = e^{y}$ par $\cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $\cos (x) x' = e^{y}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Séparez les fractions.

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

Étape 5.3.3

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$x' = e^{y} \sec (x)$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$