Calcul infinitésimal Exemples

$x y - e^{x y} = 7$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - e^{x y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{x y}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

Étape 2.3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

Étape 2.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

Étape 3

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ .

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $x e^{x y}$ aux deux côtés de l’équation.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Étape 5.3

Factorisez $y x'$ à partir de $y x' - y x' e^{x y}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y x'$ à partir de $y x'$ .

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y x'$ à partir de $- y x' e^{x y}$ .

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Étape 5.3.3

Factorisez $y x'$ à partir de $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ .

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 e^{x y}$ comme $- e^{x y}$ .

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ par $y (1 - e^{x y})$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ par $y (1 - e^{x y})$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e^{x y}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$