Calcul infinitésimal Exemples

$x \sin (3 x + 5 y) = y \cos (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x \sin (3 x + 5 y)) = \frac{d}{d y} (y \cos (x))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = \sin (3 x + 5 y)$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (3 x + 5 y)] + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = 3 x + 5 y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 5 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 5 y$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 5 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \frac{d}{d y} [y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \cdot 1)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.8

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Étape 2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$y (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \cdot 1$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x)$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x') + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 5.1.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 5.1.1.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x \cos (3 x + 5 y)$ .

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 \cdot (x \cos (3 x + 5 y)) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 5.1.1.1.4

Supprimez les parenthèses.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- y \sin (x) x' + \cos (x)$ .

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y x' \sin (x) + \cos (x)$

Étape 5.3

Ajoutez $y x' \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x)$

Étape 5.4

Soustrayez $5 x \cos (3 x + 5 y)$ des deux côtés de l’équation.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Étape 5.5

Factorisez $x'$ à partir de $3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x'$ à partir de $3 x x' \cos (3 x + 5 y)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Étape 5.5.2

Factorisez $x'$ à partir de $x' \sin (3 x + 5 y)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Étape 5.5.3

Factorisez $x'$ à partir de $y x' \sin (x)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Étape 5.5.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y))$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Étape 5.5.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x))$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ par $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ par $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

$\frac{x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x))}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} - \frac{5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Étape 5.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$