Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{125 - p^{2}}$ comme ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $x$ par rapport à $p$ est $x'$ .

$x'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ et $g (p) = 125 - p^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $125 - p^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $125 - p^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.6.3

Placez ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $125 - p^{2}$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Étape 4.8

Comme $125$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $125$ par rapport à $p$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Étape 4.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

Étape 4.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- p^{2}$ par rapport à $p$ est $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

Étape 4.12

Simplifiez les termes.

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Étape 4.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

Étape 4.12.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

Étape 4.12.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $p$ .

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 p$ .

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$