Calcul infinitésimal Exemples

$C = 0.001 x^{3} + 5 x + 250$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d C} (C) = \frac{d}{d C} (0.001 x^{3} + 5 x + 250)$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ est $n C^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.001 x^{3} + 5 x + 250$ par rapport à $C$ est $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$ .

$\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $0.001$ est constant par rapport à $C$ , la dérivée de $0.001 x^{3}$ par rapport à $C$ est $0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}]$ .

$0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d C} [f (g (C))]$ est $f' (g (C)) g' (C)$ où $f (C) = C^{3}$ et $g (C) = x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$0.001 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0.001 (3 u^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$0.001 (3 x^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d C} [x]$ comme $x'$ .

$0.001 (3 x^{2} x') + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $0.001$ .

$0.003 x^{2} x' + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d C} [5 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $C$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $C$ est $5 \frac{d}{d C} [x]$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 \frac{d}{d C} [x] + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d C} [x]$ comme $x'$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + \frac{d}{d C} [250]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $250$ est constant par rapport à $C$ , la dérivée de $250$ par rapport à $C$ est $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ et $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $0.001 x'$ à partir de $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ .

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Étape 5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$0.003 x' x^{2} + 5 x' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $0.001 x'$ à partir de $0.003 x' x^{2}$ .

$0.001 x' (3 x^{2}) + 5 x' = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $0.001 x'$ à partir de $5 x'$ .

$0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000 = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $0.001 x'$ à partir de $0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000$ .

$0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ par $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ par $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ .

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $0.001$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} + 5000$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1 (1)$ .

$x' = \frac{1 (1)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Étape 5.3.3.2

Séparez les fractions.

$x' = \frac{1}{0.001} \cdot \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Étape 5.3.3.3

Divisez $1$ par $0.001$ .

$x' = 1000 \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Étape 5.3.3.4

Associez $1000$ et $\frac{1}{3 x^{2} + 5000}$ .

$x' = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d C}$ .

$\frac{d x}{d C} = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$