Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} + t^{4} x + t^{6} - 3 = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x^{4} + t^{4} x + t^{6} - 3) = \frac{d}{d t} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + t^{4} x + t^{6} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$4 x^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [x]$ comme $x'$ .

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [t^{4} x]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [x]$ comme $x'$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.3.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5} + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 2.4.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5}$ et $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 t^{5} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 t^{5} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $6 t^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = - 6 t^{5}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4 t^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Étape 5.2

Factorisez $x'$ à partir de $4 x^{3} x' + t^{4} x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $4 x^{3} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + t^{4} x' = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Étape 5.2.2

Factorisez $x'$ à partir de $t^{4} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + x' (t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Étape 5.2.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (4 x^{3}) + x' (t^{4})$ .

$x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$ par $4 x^{3} + t^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$ par $4 x^{3} + t^{4}$ .

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 6 t^{5}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 x^{3} + t^{4}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 6 t^{5}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 6 t^{5}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 6 t^{5} - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $- 6 t^{5} - 4 t^{3} x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $- 6 t^{5}$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- 3 t^{2}) - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $- 4 t^{3} x$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $2 t^{3}$ à partir de $2 t^{3} (- 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 2 x)$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- 3 t^{2} - 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- (3 t^{2}) - 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- (3 t^{2}) - (2 x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2}) - (2 x)$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- (3 t^{2} + 2 x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.1

Réécrivez $- (3 t^{2} + 2 x)$ comme $- 1 (3 t^{2} + 2 x)$ .

$x' = \frac{2 t^{3} (- 1 (3 t^{2} + 2 x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{(2 t^{3}) (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 5.3.3.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 t^{3}) (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$ .

$x' = - \frac{2 t^{3} (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{2 t^{3} (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$