Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $6 x y y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 6 x y y'$ .

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ .

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ par $3 y (y - 2 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ par $3 y (y - 2 x)$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $y - 2 x$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y (y - 2 x)$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Étape 5.4.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $\frac{y}{y - 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 2 x) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{y - 2 x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.5.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Étape 5.4.3.5.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$