Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Étape 2

La dérivée de $x$ par rapport à $p$ est $x'$ .

$x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $500$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ par rapport à $p$ est $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ comme $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = p^{- 1}$ et $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = \ln (p)$ et $g (p) = p^{2} + 1$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{1}{p^{2} + 1}$ et $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Étape 3.5.2

Associez les fractions.

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Étape 3.5.2.1

Associez $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ et $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.2.2.1

Placez $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Étape 3.5.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Étape 3.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $p^{2} + 1$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Étape 3.5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $1$ par rapport à $p$ est $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Étape 3.5.6

Associez les fractions.

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Étape 3.5.6.1

Additionnez $2 p$ et $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Étape 3.5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Étape 3.5.6.3

Associez $- 2$ et $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Étape 3.5.6.4

Multipliez $- 2$ par $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Étape 3.5.6.5

Associez $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ et $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Étape 3.5.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.6.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Étape 3.5.6.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Étape 5

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$