Calcul infinitésimal Exemples

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Étape 2

La dérivée de $V$ par rapport à $r$ est $V'$ .

$V'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $p$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $p r^{2} (2 p r - 24)$ par rapport à $r$ est $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = r^{2}$ et $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 p r - 24$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.2

Comme $2 p$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $2 p r$ par rapport à $r$ est $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.5

Comme $- 24$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $r$ est $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $2 p$ et $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Étape 3.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.4.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.2

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.5

Déplacez $2$ à gauche de $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.7

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.8

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.11

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.12

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Étape 3.4.4.15

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Étape 3.4.4.16

Additionnez $2 p^{2} r^{2}$ et $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Étape 3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Étape 5

Remplacez $V'$ par $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$