Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x p + p^{3} = 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d p} (x^{2} - x p + p^{3}) = \frac{d}{d p} (8)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x p + p^{3}$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = p^{2}$ et $g (p) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d p} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d p} [- x p]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- x p$ par rapport à $p$ est $- \frac{d}{d p} [x p]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d p} [x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ est $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ où $f (p) = x$ et $g (p) = p$ .

$2 x x' - (x \frac{d}{d p} [p] + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d p} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x x' - (x + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x x' - (x + p x') + 3 p^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x x' - x - (p x') + 3 p^{2}$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x x' - x - p x' + 3 p^{2}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $8$ par rapport à $p$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 p^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x x' - p x' - x = - 3 p^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x x' - p x' = - 3 p^{2} + x$

Étape 5.2

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x' - p x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x'$ .

$x' (2 x) - p x' = - 3 p^{2} + x$

Étape 5.2.2

Factorisez $x'$ à partir de $- p x'$ .

$x' (2 x) + x' (- p) = - 3 p^{2} + x$

Étape 5.2.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 x) + x' (- p)$ .

$x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ par $2 x - p$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ par $2 x - p$ .

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x - p$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 3 p^{2} + x}{2 x - p}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 p^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2}) + x}{2 x - p}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2}) - 1 (- x)}{2 x - p}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 p^{2}) - 1 (- x)$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (3 p^{2} - x)$ comme $- 1 (3 p^{2} - x)$ .

$x' = \frac{- 1 (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$