Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5 = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5) = \frac{d}{d t} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [x^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [t^{2} x]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = x$ .

$2 x x' + t^{2} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' + t^{2} x' + x \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x x' + t^{2} x' + x (2 t) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.4.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2}$ et $0$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 t^{2} + 2 x x' + t^{2} x' + 2 t x$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 t^{2} + 2 x x' + t^{2} x' + 2 t x = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 t^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x x' + t^{2} x' + 2 t x = - 3 t^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 t x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x x' + t^{2} x' = - 3 t^{2} - 2 t x$

Étape 5.2

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x' + t^{2} x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x'$ .

$x' (2 x) + t^{2} x' = - 3 t^{2} - 2 t x$

Étape 5.2.2

Factorisez $x'$ à partir de $t^{2} x'$ .

$x' (2 x) + x' (t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$

Étape 5.2.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 x) + x' (t^{2})$ .

$x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$ par $2 x + t^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$ par $2 x + t^{2}$ .

$\frac{x' (2 x + t^{2})}{2 x + t^{2}} = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x + t^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 x + t^{2})}{2 x + t^{2}} = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $t$ à partir de $- 3 t^{2} - 2 t x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $t$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$x' = \frac{t (- 3 t) - 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $t$ à partir de $- 2 t x$ .

$x' = \frac{t (- 3 t) + t (- 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t (- 3 t) + t (- 2 x)$ .

$x' = \frac{t (- 3 t - 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t$ .

$x' = \frac{t (- (3 t) - 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$x' = \frac{t (- (3 t) - (2 x))}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t) - (2 x)$ .

$x' = \frac{t (- (3 t + 2 x))}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.1

Réécrivez $- (3 t + 2 x)$ comme $- 1 (3 t + 2 x)$ .

$x' = \frac{t (- 1 (3 t + 2 x))}{2 x + t^{2}}$

Étape 5.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{t (3 t + 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t (3 t + 2 x)}{2 x + t^{2}}$