Calcul infinitésimal Exemples

$v = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$x' = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x'} x' = \frac{d}{d x'} (\frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3})))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{x'}^{n}]$ est $n {x'}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Associez $p$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (2 a x^{2} - x^{3})]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{p}{3}$ est constant par rapport à $x'$ , la dérivée de $\frac{p}{3} (2 a x^{2} - x^{3})$ par rapport à $x'$ est $\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$

Étape 4.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 a x^{2} - x^{3}$ par rapport à $x'$ est $\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.1.4

Comme $2 a$ est constant par rapport à $x'$ , la dérivée de $2 a x^{2}$ par rapport à $x'$ est $2 a \frac{d}{d v} [x^{2}]$ .

$\frac{p}{3} (2 a \frac{d}{d v} [x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ est $f' (g (x')) g' (x')$ où $f (x') = {x'}^{2}$ et $g (x') = x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 u_{1} \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{p}{3} (4 a (x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{d}{d v} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x'$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x'$ est $- \frac{d}{d v} [x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - \frac{d}{d v} [x^{3}])$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ est $f' (g (x')) g' (x')$ où $f (x') = {x'}^{3}$ et $g (x') = x$ .

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Étape 4.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d v} [x]))$

Étape 4.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Étape 4.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Étape 4.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 (x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Étape 4.8

Réécrivez $\frac{d}{d v} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 x^{2} x')$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p}{3} (4 a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2

Associez des termes.

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Étape 4.9.2.1

Associez $4$ et $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 p}{3} (a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2.2

Associez $a$ et $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{a (4 p)}{3} (x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2.3

Associez $x$ et $\frac{a (4 p)}{3}$ .

$\frac{x (a (4 p))}{3} x' + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2.4

Associez $\frac{x (a (4 p))}{3}$ et $x'$ .

$\frac{x (a (4 p)) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $a$ .

$\frac{x (4 \cdot a p) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x a p x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Étape 4.9.2.7

Associez $- 3$ et $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{- 3 p}{3} (x^{2} x')$

Étape 4.9.2.8

Associez $x^{2}$ et $\frac{- 3 p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p)}{3} x'$

Étape 4.9.2.9

Associez $\frac{x^{2} (- 3 p)}{3}$ et $x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p) x'}{3}$

Étape 4.9.2.10

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.9.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $x^{2} (- 3 p) x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3}$

Étape 4.9.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 (1)}$

Étape 4.9.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 \cdot 1}$

Étape 4.9.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- p) x'}{1}$

Étape 4.9.2.10.2.4

Divisez $x^{2} (- p) x'$ par $1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + x^{2} (- p) x'$

Étape 4.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$

Étape 6.2

Factorisez $x p x'$ à partir de $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x p x'$ à partir de $\frac{4 x a p x'}{3}$ .

$x p x' \frac{4 a}{3} - x^{2} p x' = 1$

Étape 6.2.2

Factorisez $x p x'$ à partir de $- x^{2} p x'$ .

$x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x) = 1$

Étape 6.2.3

Factorisez $x p x'$ à partir de $x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x)$ .

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ par $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ par $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ .

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\frac{4 a}{3} - x$ .

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Étape 6.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1.1

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x \cdot \frac{3}{3})}$

Étape 6.3.3.1.2

Associez $- x$ et $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3})}$

Étape 6.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - x \cdot 3}{3}}$

Étape 6.3.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - 3 x}{3}}$

Étape 6.3.3.1.5

Associez les exposants.

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Étape 6.3.3.1.5.1

Associez $x$ et $\frac{4 a - 3 x}{3}$ .

$x' = \frac{1}{p \frac{x (4 a - 3 x)}{3}}$

Étape 6.3.3.1.5.2

Associez $p$ et $\frac{x (4 a - 3 x)}{3}$ .

$x' = \frac{1}{\frac{p (x (4 a - 3 x))}{3}}$

Étape 6.3.3.1.6

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x' = \frac{1}{\frac{p x (4 a - 3 x)}{3}}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x' = 1 \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Étape 6.3.3.3

Multipliez $\frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$ par $1$ .

$x' = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d v}$ .

$\frac{d x}{d v} = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$