Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $4^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4^{x} \ln (4)}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{4}{\ln (4)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $4^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4^{x} \ln (4)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{3}{\ln (4)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 5.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 5.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $4^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4^{x} \ln (4)}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{2}{\ln (4)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 7.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Étape 7.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $4^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Étape 7.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x} \ln (4)}$

Étape 8

Placez le terme $\frac{1}{\ln (4)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{4^{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{4}{\ln (2^{2})} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{4}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (2)$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.4

Multipliez $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)}$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $\frac{2}{\ln (2)}$ par $\frac{3}{\ln (4)}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.5

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{6}{\ln (2) \ln (2^{2})} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.6

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{6}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.7

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 10.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\ln (2) (2 \ln (2))$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{\ln (2) (\ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.8.1

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.8.2

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.9

Associez.

$\frac{3 \cdot 2}{\ln^{2} (2) \ln (4)} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.10

Associez.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.11.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.11.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

Étape 10.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.12.1

Élevez $\ln (4)$ à la puissance $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln (4))} \cdot 0$

Étape 10.12.2

Élevez $\ln (4)$ à la puissance $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln^{1} (4))} \cdot 0$

Étape 10.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) {\ln (4)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Étape 10.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)} \cdot 0$

Étape 10.13

Multipliez $\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)}$ par $0$ .

$0$