Calcul infinitésimal Exemples

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(6 x y + 5)}^{2}$ comme $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ .

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

Étape 2.2

Développez $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

Étape 2.3.2

Additionnez $30 x y$ et $30 x y$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.4.2

Comme $36$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $36 x^{2} y^{2}$ par rapport à $y$ est $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y^{2}$ .

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.8

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.10

Comme $60$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $60 x y$ par rapport à $y$ est $60 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.12.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.12.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.13

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

Étape 2.14

Comme $25$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $25$ par rapport à $y$ est $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

Étape 2.15

Additionnez $36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ et $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Étape 2.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Étape 2.16.3

Associez des termes.

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Étape 2.16.3.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Étape 2.16.3.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

Étape 2.16.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $12 y$ par rapport à $y$ est $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$12 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $72 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $60 x$ des deux côtés de l’équation.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Étape 5.2

Factorisez $12 y x'$ à partir de $72 y^{2} x x' + 60 y x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $12 y x'$ à partir de $72 y^{2} x x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $12 y x'$ à partir de $60 y x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $12 y x'$ à partir de $12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ .

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ par $12 y (6 y x + 5)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ par $12 y (6 y x + 5)$ .

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $6 y x + 5$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 72$ et $12$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $- 72 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $12$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Factorisez $12$ à partir de $- 60 x$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.5.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Étape 5.3.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Étape 5.3.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (6 y x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ par $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(6 y x + 5) y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$