Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + y x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Additionnez $2 y x x'$ et $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 x y x' = - 2 x^{2}$ par $4 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x y x' = - 2 x^{2}$ par $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$