Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 (x + y x')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 (y x')$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y x' + 2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y x'$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

Étape 5.2

Ajoutez $3 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $3 x^{2} x' - 2 y x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 2 y x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ .

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ par $3 x^{2} - 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ par $3 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} - 2 y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$