Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - y^{2} = 9$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d y} (9)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x x' - (2 y)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x x' - 2 y$

Étape 3

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x x' - 2 y = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x x' = 2 y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x x' = 2 y$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x x' = 2 y$ par $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$