Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x - 2) \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = (x - 2) \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $(x - 2) \sqrt{x^{2} + 1} = 0$ .

$(x - 2) \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \sqrt{x^{2} + 1} - 2 \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Étape 1.2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Laissez $u = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$x u - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $u$ à partir de $x u - 2 u$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $u$ à partir de $x u$ .

$u x - 2 u = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- 2 u$ .

$u x + u \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u x + u \cdot - 2$ .

$u (x - 2) = 0$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 2) = 0$

Étape 1.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.6

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Définissez le $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 1.2.6.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 1.2.6.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 1.2.6.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 1.2.6.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 1.2.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 2) = 0$ vraie.

$x = i, - i, 2$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = ((0) - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (0 - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (0 - 2) \sqrt{0^{2} + 1}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = ((0) - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $((0) - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$ .

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Étape 2.2.4.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 2 \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 2.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 2 \sqrt{0 + 1}$

Étape 2.2.4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = - 2 \sqrt{1}$

Étape 2.2.4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = - 2 \cdot 1$

Étape 2.2.4.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = - 2$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 4