Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

Étape 1.2.2.3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.3

Multipliez $2$ par $125$ .

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.5

Multipliez $- 3$ par $25$ .

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.6

Soustrayez $75$ de $250$ .

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.7

Multipliez $- 36$ par $5$ .

$175 - 180 + 5$

Étape 1.2.2.3.8

Soustrayez $180$ de $175$ .

$- 5 + 5$

Étape 1.2.2.3.9

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 1.2.2.4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

Étape 1.2.2.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ par $x - 5$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

Étape 1.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Étape 1.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Étape 1.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

Étape 1.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{2} - 35 x$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

Étape 1.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

Étape 1.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Étape 1.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Étape 1.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

Étape 1.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 5$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

Étape 1.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

Étape 1.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

Étape 1.2.2.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x^{2} + 7 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x^{2} + 7 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 7$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $49$ et $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $49$ et $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $49$ et $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.4

Simplifiez $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 5$

Étape 2.2.4.2.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$y = 5$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 5)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 5)$

Étape 4