Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} = 0$ .

$x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{2}{3}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.3

Remplacez $x^{\frac{2}{3}}$ par $u$ .

${(u)}^{\frac{5}{2}} - 5 u = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{\frac{5}{2}} - 5 u$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u \cdot u^{\frac{3}{2}} - 5 u = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- 5 u$ .

$u \cdot u^{\frac{3}{2}} + u \cdot - 5 = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u^{\frac{3}{2}} + u \cdot - 5$ .

$u (u^{\frac{3}{2}} - 5) = 0$

Étape 1.2.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$

Étape 1.2.4.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 1.2.4.4

Définissez $u^{\frac{3}{2}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.4.1

Définissez $u^{\frac{3}{2}} - 5$ égal à $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$

Étape 1.2.4.4.2

Résolvez $u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$ pour $u$ .

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Étape 1.2.4.4.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{3}{2}} = 5$

Étape 1.2.4.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.4.2.3.1

Simplifiez ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.4.4.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.4.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.4.2.3.1.2

Simplifiez

$u = 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u^{\frac{3}{2}} - 5) = 0$ vraie.

$u = 0, 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0, 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x^{\frac{2}{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Simplifiez $\pm 0^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 0^{3}$

Étape 1.2.6.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = \pm 0$

Étape 1.2.6.2.2.1.4

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.7

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$x = 5$

Étape 1.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, 5$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (5, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{\frac{5}{3}} - 5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 0^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 0^{5} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = 0 - 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.4.1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.4.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$y = 0 - 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.4.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$y = 0 - 5 \cdot 0^{2}$

Étape 2.2.4.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.9

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4