Calcul infinitésimal Exemples

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 24}$ comme ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez $20$ à gauche de $C$ .

$\frac{d}{d x} [20 C]$

Étape 3.2

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 C$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [C]$ .

$20 \frac{d}{d x} [C]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [C]$ comme $C'$ .

$20 C'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x + 24$ .

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Étape 4.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 24$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Étape 4.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Étape 4.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 24$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Étape 4.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

Étape 4.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

Étape 4.2.5

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 4.2.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

Étape 4.2.12

Additionnez $2$ et $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

Étape 4.2.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Étape 4.2.14

Associez $\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $2$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Étape 4.2.15

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.2.16

Placez ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.17

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.18

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ par $20$ .

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $C'$ par $1$ .

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

Étape 6.3.2

Associez.

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Étape 6.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Étape 6.3.3.2

Déplacez $20$ à gauche de ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $C'$ par $\frac{d C}{d x}$ .

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$