Calcul infinitésimal Exemples

$g (a - 3) = \frac{1}{(a + 3) - 3}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$g (a - 3) = \frac{1}{a + 3 - 3}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d a} (g (a - 3)) = \frac{d}{d a} (\frac{1}{a + 3 - 3})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ est $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ où $f (a) = g$ et $g (a) = a - 3$ .

$g \frac{d}{d a} [a - 3] + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - 3$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]$ .

$g (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g (1 + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Étape 3.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $a$ est $0$ .

$g (1 + 0) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$g \cdot 1 + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $g$ par $1$ .

$g + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d a} [g]$ comme $g'$ .

$g + (a - 3) g'$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$g + a g' - 3 g'$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$a g' + g - 3 g'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a + 0}]$

Étape 4.1.2

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a}]$

Étape 4.1.3

Réécrivez $\frac{1}{a}$ comme $a^{- 1}$ .

$\frac{d}{d a} [a^{- 1}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- a^{- 2}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{a^{2}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$a g' + g - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}}$

Étape 6

Résolvez $g'$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $g$ des deux côtés de l’équation.

$a g' - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Étape 6.2

Factorisez $g'$ à partir de $a g' - 3 g'$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $g'$ à partir de $a g'$ .

$g' a - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Étape 6.2.2

Factorisez $g'$ à partir de $- 3 g'$ .

$g' a + g' \cdot - 3 = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Étape 6.2.3

Factorisez $g'$ à partir de $g' a + g' \cdot - 3$ .

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ par $a - 3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ par $a - 3$ .

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a - 3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $g'$ par $1$ .

$g' = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$g' = - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Étape 6.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{a - 3}$ par $\frac{1}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} + \frac{- g}{a - 3}$

Étape 6.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3}$

Étape 6.3.3.2

Pour écrire $- \frac{g}{a - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}}$

Étape 6.3.3.3

Multipliez $\frac{g}{a - 3}$ par $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Étape 6.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g' = \frac{- 1 - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Étape 6.3.3.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$g' = \frac{- 1 (1) - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Étape 6.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- g a^{2}$ .

$g' = \frac{- 1 (1) - (g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Étape 6.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (g a^{2})$ .

$g' = \frac{- 1 (1 + g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Étape 6.3.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.3.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Étape 6.3.3.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

Étape 7

Remplacez $g'$ par $\frac{d g}{d a}$ .

$\frac{d g}{d a} = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$