Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Étape 1

Multipliez $h$ par $x$ .

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = h x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $h x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $h x$ .

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = h$ et $g (x) = x$ .

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

Étape 3.3.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [h]$ comme $h'$ .

$\cos (h x) (h + x h')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 4.5

Différenciez.

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Étape 4.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.5.2

Multipliez.

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Étape 4.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Étape 4.5.4

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 4.6.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 6

Résolvez $h'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ .

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 6.2

Soustrayez $h \cos (h x)$ des deux côtés de l’équation.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ par $x \cos (h x)$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ par $x \cos (h x)$ .

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (h x)$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $h'$ par $1$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Séparez les fractions.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (h x)}$ à $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.4

Associez.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.6

Associez $\frac{e^{x}}{2 x}$ et $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.7

Séparez les fractions.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (h x)}$ à $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.10

Associez.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.11

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.12

Associez $\frac{e^{- x}}{2 x}$ et $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.13

Annulez le facteur commun de $\cos (h x)$ .

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Étape 6.3.3.1.13.1

Annulez le facteur commun.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Étape 6.3.3.1.13.2

Réécrivez l’expression.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

Étape 6.3.3.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

Étape 7

Remplacez $h'$ par $\frac{d h}{d x}$ .

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$